Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(UFGO - 1982) No conjunto $\,R^2\,=\,\lbrace \,(x; y) \mid \, x,y\,\in\,\mathbb{R} \,\rbrace\,$ definimos:
1)$\,(x_1, y_1)\,=\,(x_2, \,y_2)\,\Longleftrightarrow\,x_1\,=\,x_2\;$ e $\;y_1\,=\,y_2$
2)$\,(x_1,\, y_1)\,+\,(x_2, \,y_2)\,=\,(x_1\,+\,x_2, y_1\,+\,y_2)$
3)$\,(x_1,\, y_1)\centerdot (x_2,\, y_2)\,=\,(x_1 x_2\,-\,y_1 y_2 \, ,\; x_1 y_2 \,+\, x_2 y_1)$

Com base nas definições, resolver a equação:
$(x,\, y)\centerdot(1, \,2) \, + \, (2,\, 3)\,=\,(4, \, 5)$

 



resposta: $\,x\,=\,\frac{6}{5}\,$ e $\,y\,=\,- \frac{2}{5}$ ou $(\frac{6}{5};-\frac{2}{5})$
×
Se $\,A\,$ é um conjunto tal que $\,n(A \times A)\,=\,9\;$ e que $\,\lbrace \, (2;4), (4;5)\,\rbrace\, \subset \,A \times A\,$, determinar $\,A \times A\,$.

 



resposta: $\,A \times A\,=\,\lbrace \, (2;2),(2;4),(2;5),(4;2),(4;4),(4;5),(5;2),(5;4),(5;5) \,\rbrace\,$
×
(PUCC) Sejam $\,M\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 0 \, \leqslant \, x \, \leqslant 5 \,\rbrace\,$ e $\,P\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 3 \, \leqslant \, x \, \leqslant 7 \,\rbrace\,$. O conjunto $\,(M\,-\,P)\,\times\,(P\,-\,M)\,$ é representado pela região:
produto cartesiano m menos p por p meno m
a)
$\,R_1\phantom{XX}$
b)
$\,R_2$
c)
$\,R_3\phantom{XX}$
d)
$\,R_4\,$
e)
$\,R_1 \, \cup \, R_4\,$
 
 

 



resposta: (D)
×
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $A\,=\,\lbrace \,3,\, 4,\, 6 \,\rbrace\,$, $\;B\,=\,\lbrace \,1,\, 2\,\rbrace\,$ e $\,C\,=\,\lbrace \,3,\, 6,\, 9,\,12 \,\rbrace\,$, determine o conjunto $\,(C\,-\,A)\, \times\,B\,$.


 



resposta: $\,(C\,-\,A)\, \times\,B\; = \,\lbrace \, 9,12\,\rbrace\,\times \,\lbrace \, 1,2\,\rbrace\;=\;\,\lbrace \, (9;1),(9;2),(12;1),(12;2)\,\rbrace\,$

×
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3 \,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$ represente, graficamente, o produto cartesiano $\,B\, \times\,A\,$.

 



resposta: produto cartesiano de A por B
×
(OSEC) No produto cartesiano $\;\mathbb{R}\times\mathbb{R}\;$, os pares ordenados $\;(3x\,+\,y\,;\,1)\;$ e $\;(7\,;\,2x\,-\,3y)\;$ são iguais. Os valores de x e y são respectivamente:
a) 1 e 2b) -1 e 2c) 2 e 1d) -2 e 1e) -1 e -2
1 e 2-1 e 22 e 1-2 e 1-1 e -2

 



resposta: (C)
×
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
plano cartesiano com retas r e s

 



resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$
$\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$
b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$
c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.

×
Sejam A e B dois conjuntos finitos tais que:
I)
n(A × B) = 6
II)
Os pares (2; 1), (2; 5) e (3; 4) são elementos de A × B.
Nestas condições, têm-se:
a)
A = {1,4,5}
b)
B = {2,3}
c)
A = {1,2,3}
d)
B = {4,5}
e)
A ∩ B = ∅

 



resposta: (E)
×
(PUCC) Considere os pontos da representação geométrica do produto cartesiano A×A , onde A = {1, 2, 3} . Quantos triângulos diferentes podemos formar tendo 3 desses pontos como vértice?
a)
496
b)
54
c)
76
d)
84
e)
504
produto cartesiano de AxA com A = {1, 2, 3}

 



resposta: (C)
×
Sejam $\phantom{X}A\;=\;\lbrace\;0;\;2;\;4\;\rbrace\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\;=\;\lbrace\;1;\;3;\;\rbrace\phantom{X}$. Represente A × B e B × A .
a)
na forma tabular, ou seja, enumerando um a um os seus elementos;
b)
graficamente, por um diagrama de flechas;
c)
graficamente, por um diagrama cartesiano.

 



resposta: a)A × B = {(0;1), (0;3), (2;1), (2;3), (1;1), (1;3)}
B × A = {(1;0), (1;2), (1;4), (3;0), (3;2), (3;4)}
b)
produto cartesiano A x B por diagrama de flechas
c)

×
Dado o conjunto A = {0; 1} , calcule os valores numéricos que assume o trinômio 2x + xy - 5y para todos os pares ordenados (x; y) que pertencem ao produto (A x A) .

 



resposta: 0, -5, 2, -2
Resolução:
A x A = {(0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)}
a.
2(0) + (0)(0) - 5(0) = 0
b.
2(0) + (0)(1) - 5(1) = -5
c.
2(1) + (1)(0) - 5(0) = 2
d.
2(1) + (1)(1) - 5(1) = -2

×
Sejam A, B, E e F conjuntos. Pode-se afirmar que:
a)
(x; y) ∈ A x B ⇔ x ∈ B e y ∈ A .
b)
A = ∅ ou B = ∅ ⇔ A x B ≠ ∅
c)
∄A e ∄B | A x B ≠ B x A .
d)
E ⊂ A e F ⊂ B ⇒ A x B ⊂ E x F .
e)
n(A x B) = n(A) . n(B)

 



resposta: (E)
×
Dados os conjuntos A = { 1; 2; 3 } e B = { 0 } , determine A × B e em seguida construa todos os subconjuntos A × B (relações binárias de A em B ).

 



resposta: A x B = {(1; 0), (2; 0), (3; 0)}
f1 = {(1; 0)}
f2 = {(2; 0)}
f3 = {(3; 0)}
f4 = {(1; 0), (2; 0)}
f5 = {(1; 0), (3; 0)}
f6 = {(2; 0), (3; 0)}
f7 = ∅
f8 = A x B

×
Sejam os conjuntos
conjuntos A = { 1; 2; 3 } e B = { 0; 2; 3; 4 } .
a) Represente num diagrama de flechas as seguintes relações binárias de A em B .
I.
$\,f\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;x\,=\,y\,-\,2\;\rbrace\,$
II.
$\,g\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;y\,\gt\,x\;\rbrace\,$
III.
$\,h\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;y\,=\,x\,+\,1\;\rbrace\,$
b) Considere as relações binárias de A em B e as propriedades seguintes:
F⋅1 :
Todo x ∈ A se relaciona com algum y ∈ B .
F⋅2 :
Cada x ∈ A que se relaciona, relaciona-se com um único y ∈ B .
Assinale a opção verdadeira:
(i)
f satisfaz F⋅1
(ii)
g satisfaz F⋅1 e F⋅2
(iii)
h satisfaz F⋅1 e não satisfaz F⋅2
(iv)
h não satisfaz F⋅1
(v)
h satisfaz F⋅1 e F⋅2

 



resposta: a)
I.
relacao binária de A em B
II.
relação binária de A em B com flechas
III.
relacao binaria de A em B com flechas e diagrama de Venn
b) (v) é a correta
×
Veja exercÍcio sobre:
funções
pares ordenados
produto cartesiano